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  • Critère de Leibniz - Théorème des séries alternées

    Formulaire de report


    Théorème


    Convergence

    Critère de Leibniz :
    Supposons que \((u_k)_{k\geqslant 0}\) soit une suite qui vérifie :
    1. \(u_k\geqslant0\) pour tout \(k\geqslant0\)
    2. La suite \((u_k)\) est strictement décroissante
    3. \(\displaystyle{\lim_{k\to+\infty} } u_k=0\)

    Alors la série alternée \(\sum^{+\infty}_{k=0}(-1)^ku_k\) converge
    Critère de Leibniz :
    • \((u_k)_{k\geqslant0}\) est une suite positive
    • \((u_k)\) est strictement décroissante
    • \(\displaystyle\lim_{k\to+\infty}u_k=0\)

    $$\Huge\implies$$
    • la série alternée \(\sum^{+\infty}_{k=0}(-1)^ku_k\) converge

         Plan démo:
    1:
    1i:
    2:
    END

    (Suite positive, Suite croissante, Série alternée, Suite convergente)
    Si \((d_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite positive, croissante et tendant vers \(+\infty\), alors la série de terme général $$u_n={{\frac{(-1)^n}{d_n} }}$$ converge
    Montrer que si \((d_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite positive, croissante et tendant vers \(+\infty\), alors la série de terme général $$u_n={{\frac{(-1)^n}{d_n} }}$$ converge

    Appliquer le théorème de la sommation d'Abel avec \(a_n=\frac1{d_n}\) et \(b_n=(-1)^n\)


    Encadrement

    Corollaire du critère de Leibniz :
    Soit une série alternée \(\displaystyle{\sum^{+\infty}_{k=0}(-1)^ku_k}\) telle que \(u_k\) soit positive, décroissante et convergente vers \(0\)
    Alors la somme \(S\) vérifie l'encadrement : $$S_1\leqslant S_3\leqslant\cdots\leqslant S_{2n+1}\leqslant\cdots\leqslant S\leqslant\cdots\leqslant S_{2n}\leqslant\cdots\leqslant S_2\leqslant S_0$$     Corollaire du critère de Leibniz :
    Si \(\sum(-1)^nu_n\) est une série alternée telle que \(u_n\) soit positive, décroissante et tendant vers \(0\), alors on a : $$\lvert R_n\rvert\leqslant u_{n+1}$$ avec \(R_n\) le reste d'ordre \(n\)     Corollaire du théorème des séries alternées :
    Si la suite \((a_n)_n\) tend vers \(0\) en décroissant (au moins à partir d'un certain rang), alors \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^na_n\) converge, et son reste vérifie : $$\left|\sum^{+\infty}_{n=N+1}(-1)^na_n\right|\leqslant a_{N+1}$$

    Convergence uniforme

    Théorème des séries alternées :
    La série \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}(-1)^na_nx^n\,dx\) converge uniformément sur \(I\) si : $$\sup_{x\in I}\lvert a_N x^N\rvert\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0$$

    Exercices

    Étudier la nature de la série $$\sum\frac{(-1)^n\ln n}{n}$$

    On a \(\frac{\ln}{n}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\) d'après une croissance comparée. De plus, la suite est positive et tend vers \(0\)
    La série est donc convergente d'après le théorème de la série alternée

    Étudier la nature de la série $$\sum(-1)^n\sin\left(\frac1{\sqrt n}\right)$$

    En regardant les variations de la fonction \(x\mapsto\sin(\frac1{\sqrt n})\), on s'aperçoit que \(u_n=\sin(\frac1{\sqrt n})\) est décroissante. Elle est de plus positive et tend vers \(0\) par équivalence
    La série est donc convergente d'après le théorème de la série alternée
    On peut également procéder de la façon suivante : $$\sqrt n\leqslant\sqrt{n+1}\implies\frac1{\sqrt n}\geqslant\frac1{\sqrt{n+1}}\implies\ldots$$

    Déterminer la nature de la série suivante : $$\sum(-1)^n\left(\sqrt{1+n}-\sqrt{n}\right)$$

    Multiplication et division par le conjugué
    $$\left(\sqrt{1+n}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$$

    \(n\mapsto\left(\sqrt{1+n}-\sqrt{n}\right)\) est donc positive, décroissante et tend vers \(0\), la suite est donc convergente d'après le théorème de la série alternée


    On considère la série de terme général \(u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)
    La série \(\sum u_n\) est convergente, mais pas absolument convergente
    On note \(\ell=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)
    Montrer que \(\ell\gt 0\)

    Critère des séries alternées

    D'après le critère des séries alternées, on a $$u_0+u_1\leqslant\ell\leqslant u_0$$
    Puisque \(u_0+u_1=1-\frac1{\sqrt2}\gt 0\), on a bien \(\ell\gt 0\)

  • Rétroliens :
    • Cosinus
    • Développement en série entière
    • Série convergente
    • Théorème de la sommation d'Abel